Contoh soal matematika kelas 12 smk semester 1 dan penyelesaiannya

Menguasai Matematika Kelas 12 SMK Semester 1: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Penyelesaian

Memasuki jenjang kelas 12, siswa SMK dihadapkan pada materi matematika yang lebih kompleks dan terfokus, mempersiapkan mereka untuk dunia perkuliahan atau dunia kerja. Semester pertama kelas 12 SMK biasanya mencakup topik-topik krusial yang menjadi fondasi penting. Memahami konsep-konsep ini dengan baik dan berlatih soal-soal adalah kunci keberhasilan. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal matematika kelas 12 SMK semester 1 beserta penyelesaiannya secara rinci, membantu Anda menguasai materi dan meningkatkan kepercayaan diri dalam menghadapi ujian.

Topik-Topik Utama Matematika Kelas 12 SMK Semester 1

Meskipun kurikulum dapat sedikit bervariasi antar sekolah dan jurusan, beberapa topik yang umum diajarkan di semester 1 kelas 12 SMK antara lain:

1. Program Linear: Melibatkan penyelesaian masalah optimasi menggunakan sistem pertidaksamaan linear.
2. Matriks: Operasi dasar matriks, determinan, invers, dan penerapannya dalam sistem persamaan linear.
3. Transformasi Geometri: Pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi), perputaran (rotasi), dan peregangan (dilatasi).
4. Barisan dan Deret: Barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika, dan deret geometri.

Mari kita bedah contoh soal dari masing-masing topik tersebut.

>

1. Program Linear

Program linear adalah cabang matematika yang berkaitan dengan penentuan nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi tujuan, dengan kendala yang dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear.

Contoh Soal 1:

Seorang pengusaha roti memproduksi dua jenis roti, yaitu roti manis dan roti isi. Untuk membuat satu buah roti manis, diperlukan 10 gram tepung dan 5 gram gula. Untuk membuat satu buah roti isi, diperlukan 15 gram tepung dan 10 gram gula. Pengusaha tersebut memiliki persediaan tepung sebanyak 3000 gram dan gula sebanyak 2000 gram. Keuntungan dari penjualan satu buah roti manis adalah Rp 2.000,00 dan satu buah roti isi adalah Rp 3.000,00. Tentukan jumlah roti manis dan roti isi yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum.

Penyelesaian:

Langkah 1: Mendefinisikan Variabel

Misalkan:

• x = jumlah roti manis yang diproduksi
• y = jumlah roti isi yang diproduksi

Langkah 2: Merumuskan Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan adalah keuntungan yang ingin dimaksimalkan.
Keuntungan = (Keuntungan per roti manis jumlah roti manis) + (Keuntungan per roti isi jumlah roti isi)
Fungsi Tujuan: Z = 2000x + 3000y (dalam ribuan rupiah)

Langkah 3: Merumuskan Kendala (Pertidaksamaan Linear)

• Kendala Tepung:
  Jumlah tepung yang digunakan tidak boleh melebihi persediaan.
  (Tepung untuk roti manis x) + (Tepung untuk roti isi y) ≤ Persediaan tepung
  10x + 15y ≤ 3000
  Disederhanakan dengan membagi 5: 2x + 3y ≤ 600

• Kendala Gula:
  Jumlah gula yang digunakan tidak boleh melebihi persediaan.
  (Gula untuk roti manis x) + (Gula untuk roti isi y) ≤ Persediaan gula
  5x + 10y ≤ 2000
  Disederhanakan dengan membagi 5: x + 2y ≤ 400

• Kendala Non-Negatif:
  Jumlah roti yang diproduksi tidak boleh negatif.
  x ≥ 0
y ≥ 0

Langkah 4: Menggambar Daerah Penyelesaian

Untuk menggambar daerah penyelesaian, kita ubah pertidaksamaan menjadi persamaan garis:

1. 2x + 3y = 600
   • Jika x = 0, maka 3y = 600 => y = 200. Titik: (0, 200)
   • Jika y = 0, maka 2x = 600 => x = 300. Titik: (300, 0)
2. x + 2y = 400
   • Jika x = 0, maka 2y = 400 => y = 200. Titik: (0, 200)
   • Jika y = 0, maka x = 400. Titik: (400, 0)

Titik potong kedua garis:
Dari x + 2y = 400, maka x = 400 - 2y.
Substitusikan ke 2x + 3y = 600:
2(400 - 2y) + 3y = 600
800 - 4y + 3y = 600
800 - y = 600
y = 800 - 600
y = 200

Jika y = 200, maka x = 400 - 2(200) = 400 - 400 = 0.
Titik potong adalah (0, 200).

Perhatikan bahwa titik potong kedua garis adalah (0, 200). Ini berarti garis x + 2y = 400 memotong sumbu y di (0, 200) dan garis 2x + 3y = 600 juga memotong sumbu y di (0, 200). Mari kita cek titik potong lainnya.

Jika kita menggunakan metode eliminasi untuk menemukan titik potong antara 2x + 3y = 600 dan x + 2y = 400:
Kalikan persamaan kedua dengan 2: 2x + 4y = 800.
Kurangi persamaan pertama dari persamaan ini:
(2x + 4y) - (2x + 3y) = 800 - 600
y = 200
Substitusikan y = 200 ke x + 2y = 400:
x + 2(200) = 400
x + 400 = 400
x = 0
Jadi, titik potongnya adalah (0, 200).

Ada kesalahan dalam perhitungan sebelumnya. Mari kita cari titik potong yang benar.

1. 2x + 3y = 600 -> Titik (300, 0) dan (0, 200)
2. x + 2y = 400 -> Titik (400, 0) dan (0, 200)

Perhatikan bahwa kedua garis memotong sumbu y di titik yang sama (0, 200). Mari kita cek kembali persamaan.
2x + 3y = 600
x + 2y = 400 => x = 400 - 2y

Substitusi x ke persamaan pertama:
2(400 - 2y) + 3y = 600
800 - 4y + 3y = 600
800 - y = 600
y = 200

Substitusi y = 200 ke x = 400 - 2y:
x = 400 - 2(200)
x = 400 - 400
x = 0

Ternyata titik potongnya adalah (0, 200). Ini berarti salah satu kendala tidak memberikan batasan yang signifikan untuk menemukan titik potong di kuadran pertama selain pada sumbu y. Mari kita periksa kembali soalnya. Sepertinya ada yang janggal dengan angkanya, tapi kita lanjutkan dengan kendala yang ada.

Titik-titik pojok daerah penyelesaian adalah:

• Titik O: (0, 0)
• Titik A: Titik potong 2x + 3y = 600 dengan sumbu x (y=0) -> 2x = 600 => x = 300. Titik: (300, 0)
• Titik B: Titik potong x + 2y = 400 dengan sumbu y (x=0) -> 2y = 400 => y = 200. Titik: (0, 200)
• Titik C: Titik potong kedua garis. Dari perhitungan di atas, titik potongnya adalah (0, 200). Ini berarti titik A dan titik C adalah sama.

Ini menunjukkan bahwa salah satu kendala tidak membentuk batas yang berbeda di kuadran pertama. mari kita asumsikan bahwa soalnya valid dan proceed.

Titik-titik pojok yang relevan adalah (0,0), (300,0), dan (0,200).

Langkah 5: Menentukan Nilai Optimum (Keuntungan Maksimum)

Substitusikan koordinat titik-titik pojok ke dalam fungsi tujuan Z = 2000x + 3000y:

• Di titik (0, 0): Z = 2000(0) + 3000(0) = 0
• Di titik (300, 0): Z = 2000(300) + 3000(0) = 600.000
• Di titik (0, 200): Z = 2000(0) + 3000(200) = 600.000

Berdasarkan perhitungan ini, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp 600.000,00. Keuntungan maksimum ini dapat dicapai dengan memproduksi 300 roti manis dan 0 roti isi, ATAU 0 roti manis dan 200 roti isi. Ini adalah kasus di mana fungsi tujuan sejajar dengan salah satu garis batas.

Catatan Penting: Jika titik potong kedua garis berbeda dari titik potong pada sumbu, maka titik tersebut akan menjadi salah satu titik pojok yang perlu diuji. Dalam kasus ini, tampaknya ada kesamaan titik potong yang menghasilkan keuntungan maksimum pada dua kombinasi produksi yang berbeda.

>

2. Matriks

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks memiliki berbagai operasi seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, determinan, dan invers.

Contoh Soal 2:

Diberikan matriks A = $beginpmatrix 2 & 1 3 & 4 endpmatrix$ dan matriks B = $beginpmatrix 5 & -2 1 & 3 endpmatrix$. Tentukan:
a. A + B
b. A – B
c. A * B
d. Determinan dari matriks A (det(A))
e. Invers dari matriks A (A⁻¹)

Penyelesaian:

a. Penjumlahan Matriks A + B

Penjumlahan matriks dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian pada kedua matriks. Syaratnya, kedua matriks harus memiliki ordo (ukuran) yang sama.

A + B = $beginpmatrix 2 & 1 3 & 4 endpmatrix$ + $beginpmatrix 5 & -2 1 & 3 endpmatrix$ = $beginpmatrix 2+5 & 1+(-2) 3+1 & 4+3 endpmatrix$ = $beginpmatrix 7 & -1 4 & 7 endpmatrix$

b. Pengurangan Matriks A – B

Pengurangan matriks dilakukan dengan mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian. Syaratnya, kedua matriks harus memiliki ordo yang sama.

A – B = $beginpmatrix 2 & 1 3 & 4 endpmatrix$ – $beginpmatrix 5 & -2 1 & 3 endpmatrix$ = $beginpmatrix 2-5 & 1-(-2) 3-1 & 4-3 endpmatrix$ = $beginpmatrix -3 & 3 2 & 1 endpmatrix$

*c. Perkalian Matriks A B**

Perkalian matriks dilakukan dengan mengalikan baris dari matriks pertama dengan kolom dari matriks kedua. Syarat perkalian matriks A * B adalah jumlah kolom matriks A harus sama dengan jumlah baris matriks B. Dalam kasus ini, A berordo 2×2 dan B berordo 2×2, sehingga perkalian dapat dilakukan dan hasilnya akan berordo 2×2.

A * B = $beginpmatrix 2 & 1 3 & 4 endpmatrix$ $beginpmatrix 5 & -2 1 & 3 endpmatrix$

Elemen baris 1, kolom 1: (2 5) + (1 1) = 10 + 1 = 11
Elemen baris 1, kolom 2: (2 -2) + (1 3) = -4 + 3 = -1
Elemen baris 2, kolom 1: (3 5) + (4 1) = 15 + 4 = 19
Elemen baris 2, kolom 2: (3 -2) + (4 3) = -6 + 12 = 6

Jadi, A * B = $beginpmatrix 11 & -1 19 & 6 endpmatrix$

d. Determinan dari Matriks A (det(A))

Untuk matriks 2×2, $beginpmatrix a & b c & d endpmatrix$, determinannya adalah ad - bc.

det(A) = det$beginpmatrix 2 & 1 3 & 4 endpmatrix$ = (2 4) – (1 3) = 8 – 3 = 5

e. Invers dari Matriks A (A⁻¹)

Rumus invers matriks 2×2, $beginpmatrix a & b c & d endpmatrix$, adalah $frac1ad-bc beginpmatrix d & -b -c & a endpmatrix$.

Kita sudah menghitung determinan A yaitu 5.
A⁻¹ = $frac1det(A) beginpmatrix 4 & -1 -3 & 2 endpmatrix$ = $frac15 beginpmatrix 4 & -1 -3 & 2 endpmatrix$ = $beginpmatrix 4/5 & -1/5 -3/5 & 2/5 endpmatrix$

>

3. Transformasi Geometri

Transformasi geometri adalah perubahan posisi, ukuran, atau bentuk suatu objek geometri. Jenis-jenis transformasi yang umum meliputi translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi.

Contoh Soal 3:

Tentukan bayangan titik P(4, -2) jika ditransformasikan oleh:
a. Translasi T = (3, -1)
b. Refleksi terhadap garis x = 1
c. Rotasi 90° searah jarum jam terhadap titik pusat O(0,0)
d. Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 2

Penyelesaian:

a. Translasi

Translasi adalah pergeseran. Jika titik P(x, y) ditranslasikan oleh T = (a, b), maka bayangannya P'(x’, y’) adalah:
x’ = x + a
y’ = y + b

Untuk P(4, -2) dan T = (3, -1):
x’ = 4 + 3 = 7
y’ = -2 + (-1) = -3
Jadi, bayangan P adalah P'(7, -3).

b. Refleksi terhadap garis x = 1

Refleksi terhadap garis vertikal x = k. Jika titik P(x, y) direfleksikan terhadap garis x = k, maka bayangannya P'(x’, y’) adalah:
x’ = 2k – x
y’ = y

Untuk P(4, -2) dan garis x = 1 (k=1):
x’ = 2(1) – 4 = 2 – 4 = -2
y’ = -2
Jadi, bayangan P adalah P'(-2, -2).

c. Rotasi 90° searah jarum jam terhadap titik pusat O(0,0)

Rotasi 90° searah jarum jam terhadap O(0,0) mengubah titik (x, y) menjadi (y, -x).

Untuk P(4, -2):
x’ = y = -2
y’ = -x = -4
Jadi, bayangan P adalah P'(-2, -4).

(Catatan: Jika rotasi 90° berlawanan arah jarum jam, maka menjadi (-y, x).)

d. Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 2

Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k mengubah titik (x, y) menjadi (kx, ky).

Untuk P(4, -2) dan k = 2:
x’ = 2 4 = 8
y’ = 2 (-2) = -4
Jadi, bayangan P adalah P'(8, -4).

>

4. Barisan dan Deret

Barisan adalah urutan bilangan, sedangkan deret adalah jumlah dari suku-suku dalam barisan. Jenis yang umum dipelajari adalah aritmetika (selisih tetap) dan geometri (rasio tetap).

Contoh Soal 4:

a. Suku ke-10 dari barisan aritmetika 3, 7, 11, 15, … adalah …
b. Jumlah 5 suku pertama dari deret geometri 2, 6, 18, 54, … adalah …

Penyelesaian:

a. Barisan Aritmetika

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika: $U_n = a + (n-1)b$
dimana:

• $U_n$ = suku ke-n
• $a$ = suku pertama
• $b$ = beda (selisih antar suku)
• $n$ = nomor suku

Dalam barisan 3, 7, 11, 15, …:

• Suku pertama, $a = 3$.
• Beda, $b = 7 – 3 = 4$ (atau 11 – 7 = 4, dst.).

Kita ingin mencari suku ke-10 ($n=10$).
$U10 = a + (10-1)b$
$U10 = 3 + (9) * 4$
$U10 = 3 + 36$
$U10 = 39$

Jadi, suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 39.

b. Deret Geometri

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri: $S_n = fraca(r^n – 1)r-1$ (jika r > 1)
atau $S_n = fraca(1 – r^n)1-r$ (jika r < 1)
dimana:

• $S_n$ = jumlah n suku pertama
• $a$ = suku pertama
• $r$ = rasio (perbandingan antar suku)
• $n$ = jumlah suku

Dalam deret geometri 2, 6, 18, 54, …:

• Suku pertama, $a = 2$.
• Rasio, $r = 6 / 2 = 3$ (atau 18 / 6 = 3, dst.).

Kita ingin mencari jumlah 5 suku pertama ($n=5$). Karena $r=3 > 1$, kita gunakan rumus pertama.
$S_5 = fraca(r^5 – 1)r-1$
$S_5 = frac2(3^5 – 1)3-1$
$S_5 = frac2(243 – 1)2$
$S_5 = 242$

Jadi, jumlah 5 suku pertama dari deret geometri tersebut adalah 242.

>

Penutup

Menguasai materi matematika kelas 12 SMK semester 1 membutuhkan pemahaman konsep yang kuat dan latihan soal yang konsisten. Dengan memahami langkah-langkah penyelesaian di atas, Anda diharapkan dapat lebih percaya diri dalam menghadapi soal-soal serupa. Ingatlah untuk selalu membaca soal dengan teliti, mengidentifikasi informasi yang diberikan, dan memilih metode penyelesaian yang tepat. Selamat belajar dan semoga sukses!