Contoh soal matematika kelas 3 smp semester 1

Menguasai Matematika SMP Kelas 3 Semester 1: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

Memasuki jenjang SMP kelas 3 (atau kelas 9 jenjang kurikulum yang lebih baru) menandai sebuah fase penting dalam perjalanan akademis siswa. Materi matematika yang disajikan semakin mendalam dan kompleks, mempersiapkan mereka untuk tantangan di jenjang SMA dan seterusnya. Semester 1 di kelas ini biasanya berfokus pada topik-topik fundamental yang akan menjadi dasar bagi pembelajaran di semester berikutnya dan tahun-tahun mendatang.

Artikel ini akan membahas secara mendalam materi-materi utama yang umum diajarkan di semester 1 kelas 3 SMP, dilengkapi dengan contoh-contoh soal yang bervariasi, mulai dari tingkat dasar hingga yang sedikit menantang. Tujuannya adalah untuk memberikan pemahaman yang komprehensif kepada siswa, orang tua, maupun guru, serta menjadi bahan latihan yang efektif.

Topik-Topik Utama Matematika SMP Kelas 3 Semester 1

Meskipun kurikulum dapat sedikit bervariasi antar sekolah atau mengikuti pembaruan kurikulum nasional, topik-topik inti yang seringkali dibahas di semester 1 kelas 3 SMP meliputi:

1. Barisan dan Deret Bilangan: Meliputi barisan aritmetika dan geometri, serta deret aritmetika dan geometri.
2. Pola Bilangan: Mempelajari berbagai jenis pola bilangan dan cara menentukan suku berikutnya atau rumus suku ke-n.
3. Fungsi: Pengertian fungsi, notasi fungsi, menentukan nilai fungsi, dan menggambar grafik fungsi linear.
4. Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV): Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dan metode penyelesaiannya (substitusi, eliminasi, grafik).
5. Lingkaran: Unsur-unsur lingkaran, keliling dan luas lingkaran, serta aplikasinya.

Mari kita bedah satu per satu dengan contoh soalnya.

1. Barisan dan Deret Bilangan

Konsep Dasar:

• Barisan Bilangan: Urutan bilangan yang memiliki pola tertentu.
• Barisan Aritmetika: Barisan yang selisih antara dua suku berurutan selalu tetap (disebut beda, b).
  • Rumus suku ke-n: $U_n = a + (n-1)b$, di mana a adalah suku pertama.
  • Rumus jumlah n suku pertama: $S_n = fracn2(a + U_n)$ atau $S_n = fracn2(2a + (n-1)b)$.
• Barisan Geometri: Barisan yang perbandingan antara dua suku berurutan selalu tetap (disebut rasio, r).
  • Rumus suku ke-n: $U_n = a cdot r^n-1$.
  • Rumus jumlah n suku pertama: $S_n = fraca(r^n – 1)r – 1$ (jika $r > 1$) atau $S_n = fraca(1 – r^n)1 – r$ (jika $r < 1$).

Contoh Soal:

Soal 1 (Aritmetika):
Tentukan suku ke-15 dari barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, …

• Pembahasan:
  • Suku pertama ($a$) = 3.
  • Beda ($b$) = $7 – 3 = 4$.
  • Kita ingin mencari suku ke-15 ($n=15$).
  • Menggunakan rumus $Un = a + (n-1)b$:
    $U15 = 3 + (15-1) times 4$
    $U15 = 3 + (14) times 4$
    $U15 = 3 + 56$
    $U_15 = 59$.
  • Jadi, suku ke-15 adalah 59.

Soal 2 (Aritmetika):
Jumlah 20 suku pertama dari barisan aritmetika 5, 10, 15, 20, … adalah…

• Pembahasan:
  • Suku pertama ($a$) = 5.
  • Beda ($b$) = $10 – 5 = 5$.
  • Jumlah suku ($n$) = 20.
  • Menggunakan rumus $Sn = fracn2(2a + (n-1)b)$:
    $S20 = frac202(2 times 5 + (20-1) times 5)$
    $S20 = 10(10 + (19) times 5)$
    $S20 = 10(10 + 95)$
    $S20 = 10(105)$
    $S20 = 1050$.
  • Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 1050.

Soal 3 (Geometri):
Tentukan suku ke-6 dari barisan geometri: 2, 6, 18, 54, …

• Pembahasan:
  • Suku pertama ($a$) = 2.
  • Rasio ($r$) = $6 / 2 = 3$.
  • Kita ingin mencari suku ke-6 ($n=6$).
  • Menggunakan rumus $U_n = a cdot r^n-1$:
    $U_6 = 2 cdot 3^6-1$
    $U_6 = 2 cdot 3^5$
    $U_6 = 2 cdot 243$
    $U_6 = 486$.
  • Jadi, suku ke-6 adalah 486.

Soal 4 (Geometri):
Jumlah 5 suku pertama dari barisan geometri 3, 6, 12, 24, … adalah…

• Pembahasan:
  • Suku pertama ($a$) = 3.
  • Rasio ($r$) = $6 / 3 = 2$.
  • Jumlah suku ($n$) = 5.
  • Karena $r > 1$, kita gunakan rumus $S_n = fraca(r^n – 1)r – 1$:
    $S_5 = frac3(2^5 – 1)2 – 1$
    $S_5 = frac3(32 – 1)1$
    $S_5 = 3(31)$
    $S_5 = 93$.
  • Jadi, jumlah 5 suku pertama adalah 93.

>

2. Pola Bilangan

Konsep Dasar:
Pola bilangan adalah susunan angka yang mengikuti aturan tertentu. Aturan ini bisa berupa penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, atau kombinasi dari operasi-operasi tersebut.

Contoh Soal:

Soal 5:
Perhatikan pola bilangan berikut: 1, 4, 9, 16, 25, …
Tentukan dua suku berikutnya!

• Pembahasan:
  • Kita perhatikan perbedaan antar suku: $4-1=3$, $9-4=5$, $16-9=7$, $25-16=9$.
  • Perbedaan antar suku ini membentuk pola bilangan ganjil: 3, 5, 7, 9, … yang bertambah 2.
  • Atau, kita bisa melihat bahwa bilangan-bilangan tersebut adalah kuadrat dari bilangan asli berurutan: $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$.
  • Maka, suku berikutnya adalah $6^2 = 36$ dan $7^2 = 49$.
  • Jadi, dua suku berikutnya adalah 36 dan 49.

Soal 6:
Diketahui pola bilangan sebagai berikut:

• Pola ke-1: *

• Pola ke-2: ***

• Pola ke-3: *****

• Pola ke-4: ***
  Jika pola ini berlanjut, berapakah jumlah bintang pada pola ke-10?

• Pembahasan:

  • Jumlah bintang pada setiap pola adalah: 1, 3, 5, 7, …
  • Ini adalah barisan aritmetika dengan suku pertama ($a$) = 1 dan beda ($b$) = 2.
  • Kita ingin mencari pola ke-10, yang berarti kita mencari suku ke-10 ($n=10$).
  • Menggunakan rumus $Un = a + (n-1)b$:
    $U10 = 1 + (10-1) times 2$
    $U10 = 1 + (9) times 2$
    $U10 = 1 + 18$
    $U_10 = 19$.
  • Jadi, jumlah bintang pada pola ke-10 adalah 19.

>

3. Fungsi

Konsep Dasar:

• Fungsi: Relasi khusus dari himpunan A ke himpunan B, di mana setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B.
• Notasi Fungsi: $f: A rightarrow B$ dibaca "fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B". Jika $x in A$ dan $y in B$, maka $y = f(x)$.
• Domain: Himpunan A (daerah asal).
• Kodomain: Himpunan B (daerah kawan).
• Range: Himpunan bagian dari kodomain yang merupakan hasil pemetaan (daerah hasil).
• Fungsi Linear: Fungsi dengan bentuk umum $f(x) = mx + c$, di mana m dan c adalah konstanta dan m $neq$ 0. Grafiknya berupa garis lurus.

Contoh Soal:

Soal 7:
Diketahui fungsi $f(x) = 2x – 5$. Tentukan nilai dari:
a. $f(3)$
b. $f(-2)$
c. Nilai $x$ jika $f(x) = 7$

• Pembahasan:
  a. Untuk mencari $f(3)$, kita substitusikan $x=3$ ke dalam rumus fungsi:
  $f(3) = 2(3) – 5 = 6 – 5 = 1$.
  b. Untuk mencari $f(-2)$, kita substitusikan $x=-2$ ke dalam rumus fungsi:
  $f(-2) = 2(-2) – 5 = -4 – 5 = -9$.
  c. Untuk mencari nilai $x$ jika $f(x) = 7$, kita samakan rumus fungsi dengan 7:
  $2x – 5 = 7$
  $2x = 7 + 5$
  $2x = 12$
  $x = 12 / 2$
  $x = 6$.
  • Jadi, a. $f(3)=1$, b. $f(-2)=-9$, c. nilai $x$ adalah 6.

Soal 8:
Gambarkan grafik fungsi $f(x) = x + 2$ untuk domain $-2, -1, 0, 1, 2$.

• Pembahasan:
  Untuk menggambar grafik, kita perlu menentukan pasangan titik $(x, f(x))$:

  • Jika $x = -2$, maka $f(-2) = -2 + 2 = 0$. Titik: $(-2, 0)$.
  • Jika $x = -1$, maka $f(-1) = -1 + 2 = 1$. Titik: $(-1, 1)$.
  • Jika $x = 0$, maka $f(0) = 0 + 2 = 2$. Titik: $(0, 2)$.
  • Jika $x = 1$, maka $f(1) = 1 + 2 = 3$. Titik: $(1, 3)$.
  • Jika $x = 2$, maka $f(2) = 2 + 2 = 4$. Titik: $(2, 4)$.

  Setelah mendapatkan titik-titik tersebut, kita gambarkan pada bidang Kartesius. Karena domainnya terbatas, grafiknya berupa serangkaian titik yang terhubung. Jika domainnya adalah semua bilangan real, grafiknya akan berupa garis lurus yang melewati titik-titik tersebut.

>

4. Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)

Konsep Dasar:

• Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV): Persamaan yang memiliki dua variabel dan pangkat tertinggi dari setiap variabel adalah satu. Bentuk umumnya adalah $ax + by = c$.
• Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV): Gabungan dari dua atau lebih PLDV yang memiliki solusi sama.
• Metode Penyelesaian SPLDV:
  1. Metode Substitusi: Mengganti salah satu variabel dengan bentuk variabel lainnya dari salah satu persamaan ke persamaan lain.
  2. Metode Eliminasi: Menghilangkan salah satu variabel dengan menyamakan koefisiennya, lalu menjumlahkan atau mengurangkan persamaan.
  3. Metode Grafik: Mencari titik potong kedua garis dari masing-masing persamaan.

Contoh Soal:

Soal 9 (Metode Substitusi):
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode substitusi:
$x + y = 5$
$2x – y = 4$

• Pembahasan:
  1. Ubah salah satu persamaan menjadi bentuk salah satu variabel. Dari persamaan pertama, kita dapatkan $y = 5 – x$.
  2. Substitusikan bentuk $y$ ini ke persamaan kedua:
     $2x – (5 – x) = 4$
     $2x – 5 + x = 4$
     $3x – 5 = 4$
     $3x = 9$
     $x = 3$.
  3. Substitusikan nilai $x = 3$ kembali ke salah satu persamaan awal (misalnya $y = 5 – x$):
     $y = 5 – 3$
     $y = 2$.
     • Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $(3, 2)$.

Soal 10 (Metode Eliminasi):
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode eliminasi:
$3x + 2y = 7$
$2x + y = 4$

• Pembahasan:
  1. Untuk mengeliminasi $y$, kita samakan koefisien $y$ pada kedua persamaan. Kalikan persamaan kedua dengan 2:
     $3x + 2y = 7$
     $4x + 2y = 8$
  2. Kurangkan persamaan pertama dengan persamaan kedua (atau sebaliknya) untuk mengeliminasi $y$:
     $(3x + 2y) – (4x + 2y) = 7 – 8$
     $3x – 4x = -1$
     $-x = -1$
     $x = 1$.
  3. Substitusikan nilai $x = 1$ ke salah satu persamaan awal (misalnya $2x + y = 4$):
     $2(1) + y = 4$
     $2 + y = 4$
     $y = 4 – 2$
     $y = 2$.
     • Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $(1, 2)$.

Soal 11 (Soal Cerita):
Harga 2 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp11.000. Harga 1 buku tulis dan 2 pensil adalah Rp7.000. Berapakah harga 1 buku tulis dan 1 pensil?

• Pembahasan:
  Misalkan harga 1 buku tulis = $b$ dan harga 1 pensil = $p$.
  Dari soal, kita dapat membentuk SPLDV:
  1) $2b + 3p = 11000$
  2) $b + 2p = 7000$

  Kita gunakan metode eliminasi. Untuk mengeliminasi $b$, kalikan persamaan kedua dengan 2:
  1) $2b + 3p = 11000$
  2) $2b + 4p = 14000$

  Kurangkan persamaan pertama dengan persamaan yang baru (setelah dikali 2):
  $(2b + 3p) – (2b + 4p) = 11000 – 14000$
  $-p = -3000$
  $p = 3000$.

  Substitusikan nilai $p = 3000$ ke persamaan kedua ($b + 2p = 7000$):
  $b + 2(3000) = 7000$
  $b + 6000 = 7000$
  $b = 7000 – 6000$
  $b = 1000$.

  Jadi, harga 1 buku tulis adalah Rp1.000 dan harga 1 pensil adalah Rp3.000.
  Ditanya harga 1 buku tulis dan 1 pensil: $b + p = 1000 + 3000 = 4000$.

  • Jadi, harga 1 buku tulis dan 1 pensil adalah Rp4.000.

>

5. Lingkaran

Konsep Dasar:

• Unsur-unsur Lingkaran: Titik pusat, jari-jari (r), diameter (d = 2r), tali busur, apotema, busur, juring, tembereng.
• Keliling Lingkaran: Panjang garis lengkung yang membentuk lingkaran.
  • Rumus: $K = 2pi r$ atau $K = pi d$. (Nilai $pi$ biasanya diambil $frac227$ atau 3.14).
• Luas Lingkaran: Besar daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran.
  • Rumus: $L = pi r^2$.

Contoh Soal:

Soal 12:
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 7 cm. Hitunglah:
a. Keliling lingkaran tersebut.
b. Luas lingkaran tersebut.

• Pembahasan:
  • Jari-jari ($r$) = 7 cm.
  • Kita gunakan $pi = frac227$ karena jari-jarinya kelipatan 7.
    a. Keliling ($K$):
    $K = 2pi r$
    $K = 2 times frac227 times 7$
    $K = 2 times 22$
    $K = 44$ cm.
    b. Luas ($L$):
    $L = pi r^2$
    $L = frac227 times 7^2$
    $L = frac227 times 49$
    $L = 22 times 7$
    $L = 154$ cm$^2$.
  • Jadi, a. kelilingnya 44 cm dan b. luasnya 154 cm$^2$.

Soal 13:
Sebuah roda sepeda memiliki diameter 56 cm. Jika roda tersebut berputar sebanyak 100 kali, berapakah jarak yang ditempuh sepeda? (Gunakan $pi = frac227$)

• Pembahasan:
  • Diameter ($d$) = 56 cm.
  • Jari-jari ($r$) = $d/2 = 56/2 = 28$ cm.
  • Jarak yang ditempuh dalam satu kali putaran roda sama dengan keliling roda.
  • Keliling ($K$):
    $K = pi d$
    $K = frac227 times 56$
    $K = 22 times 8$
    $K = 176$ cm.
  • Jika roda berputar 100 kali, maka jarak yang ditempuh adalah:
    Jarak = $100 times K$
    Jarak = $100 times 176$ cm
    Jarak = 17600 cm.
  • Untuk mengubah ke meter, bagi dengan 100: $17600 / 100 = 176$ meter.
  • Jadi, jarak yang ditempuh sepeda adalah 176 meter.

Soal 14 (Aplikasi Luas):
Sebuah taman berbentuk lingkaran dengan jari-jari 10 meter. Di tengah taman akan ditanami rumput. Jika harga rumput per meter persegi adalah Rp5.000, berapakah total biaya yang diperlukan untuk menanami rumput di taman tersebut? (Gunakan $pi = 3.14$)

• Pembahasan:
  • Jari-jari taman ($r$) = 10 meter.
  • Luas taman ($L$):
    $L = pi r^2$
    $L = 3.14 times (10)^2$
    $L = 3.14 times 100$
    $L = 314$ meter$^2$.
  • Harga rumput per meter persegi = Rp5.000.
  • Total biaya = Luas taman $times$ Harga per meter persegi
    Total biaya = $314 times 5000$
    Total biaya = Rp1.570.000.
  • Jadi, total biaya yang diperlukan adalah Rp1.570.000.

>

Penutup

Menguasai materi matematika di kelas 3 SMP semester 1 adalah kunci untuk kesuksesan di jenjang selanjutnya. Dengan memahami konsep-konsep dasar dan berlatih secara konsisten melalui berbagai contoh soal, siswa diharapkan dapat membangun fondasi matematika yang kuat.

Penting untuk diingat bahwa setiap soal memiliki logika dan cara penyelesaiannya tersendiri. Jangan ragu untuk bertanya kepada guru jika ada materi yang belum dipahami. Kesabaran, ketekunan, dan latihan yang teratur adalah kunci utama dalam menguasai matematika. Semoga artikel ini bermanfaat dan menjadi panduan yang efektif bagi seluruh pembaca. Selamat belajar!

>