Contoh soal matematika kelas 11 smk semester 1

Menguasai Matematika Kelas 11 SMK Semester 1: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasan

Matematika seringkali menjadi momok bagi sebagian siswa, terutama di jenjang SMK yang memiliki fokus pada kejuruan. Namun, pemahaman yang kuat terhadap konsep matematika adalah fondasi penting yang akan menunjang keberhasilan dalam studi dan dunia kerja di masa depan. Khususnya di kelas 11 semester 1, materi matematika yang diajarkan seringkali menjadi jembatan penting untuk pemahaman materi yang lebih kompleks di semester berikutnya dan di tingkat yang lebih tinggi.

Artikel ini hadir untuk membantu siswa SMK kelas 11 semester 1 dalam memahami dan menguasai materi matematika yang akan dihadapi. Kita akan membahas beberapa topik kunci yang umum diajarkan, disertai dengan contoh soal yang relevan beserta pembahasannya secara rinci. Dengan pemahaman yang baik, diharapkan rasa percaya diri siswa dalam menghadapi ulangan harian, PTS (Penilaian Tengah Semester), dan PAS (Penilaian Akhir Semester) akan meningkat.

Topik 1: Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika yang banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang. Di kelas 11 SMK, pemahaman tentang fungsi kuadrat meliputi bentuk umum, karakteristik grafik (parabola), titik puncak, titik potong sumbu, serta bagaimana menentukan persamaan fungsi kuadrat.

Bentuk Umum Fungsi Kuadrat:
Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum $f(x) = ax^2 + bx + c$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta dan $a neq 0$.

• Koefisien $a$: Menentukan arah bukaan parabola. Jika $a > 0$, parabola terbuka ke atas. Jika $a < 0$, parabola terbuka ke bawah.
• Koefisien $b$: Mempengaruhi posisi sumbu simetri.
• Konstanta $c$: Menentukan titik potong parabola dengan sumbu-y (ketika $x=0$, maka $f(0) = c$).

Titik Puncak (Vertex):
Titik puncak adalah titik tertinggi atau terendah pada grafik parabola. Koordinat titik puncak $(x_p, y_p)$ dapat dihitung dengan rumus:
$x_p = -fracb2a$
$y_p = f(x_p)$ atau $y_p = c – fracb^24a$

Sumbu Simetri:
Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Persamaan sumbu simetri adalah $x = x_p = -fracb2a$.

Titik Potong Sumbu-x:
Titik potong sumbu-x terjadi ketika $f(x) = 0$, yaitu saat $ax^2 + bx + c = 0$. Akar-akar persamaan kuadrat ini dapat dicari menggunakan rumus ABC:
$x = frac-b pm sqrtb^2 – 4ac2a$
Diskriminan ($D = b^2 – 4ac$) menentukan jumlah dan jenis akar:

• Jika $D > 0$, terdapat dua akar real berbeda.
• Jika $D = 0$, terdapat satu akar real kembar.
• Jika $D < 0$, tidak ada akar real (akar imajiner).

Contoh Soal 1:
Tentukan titik puncak, sumbu simetri, dan titik potong sumbu-y dari fungsi kuadrat $f(x) = x^2 – 6x + 8$.

Pembahasan:
Diketahui fungsi kuadrat $f(x) = x^2 – 6x + 8$.
Dari bentuk umum $ax^2 + bx + c$, kita peroleh:
$a = 1$
$b = -6$
$c = 8$

• Titik Puncak:
  $x_p = -fracb2a = -frac-62(1) = frac62 = 3$
  $y_p = f(x_p) = f(3) = (3)^2 – 6(3) + 8 = 9 – 18 + 8 = -1$
  Jadi, titik puncaknya adalah $(3, -1)$.

• Sumbu Simetri:
  Persamaan sumbu simetri adalah $x = x_p = 3$.

• Titik Potong Sumbu-y:
  Titik potong sumbu-y terjadi ketika $x=0$.
  $f(0) = (0)^2 – 6(0) + 8 = 8$.
  Jadi, titik potong sumbu-y adalah $(0, 8)$.

Contoh Soal 2:
Sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Ketinggian bola (dalam meter) setelah $t$ detik dinyatakan oleh fungsi $h(t) = -5t^2 + 20t$. Tentukan ketinggian maksimum bola dan waktu yang dibutuhkan untuk mencapai ketinggian maksimum tersebut.

Pembahasan:
Fungsi ketinggian adalah $h(t) = -5t^2 + 20t$. Ini adalah fungsi kuadrat dengan $a = -5$, $b = 20$, dan $c = 0$.
Karena $a = -5 < 0$, parabola terbuka ke bawah, sehingga titik puncaknya merupakan ketinggian maksimum.

• Waktu untuk mencapai ketinggian maksimum:
  $t_maks = -fracb2a = -frac202(-5) = -frac20-10 = 2$ detik.

• Ketinggian maksimum:
  $hmaks = h(tmaks) = h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20$ meter.

Jadi, ketinggian maksimum bola adalah 20 meter dan dicapai setelah 2 detik.

>

Topik 2: Trigonometri Dasar (Sudut Istimewa dan Identitas Dasar)

Trigonometri merupakan cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut dalam segitiga. Di kelas 11, materi trigonometri dasar mencakup definisi sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan, dan cosecan, serta nilai-nilai sudut istimewa dan identitas trigonometri dasar.

Definisi Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku:
Misalkan $theta$ adalah salah satu sudut lancip pada segitiga siku-siku.

• $sin theta = fractextsisi depantextsisi miring$
• $cos theta = fractextsisi sampingtextsisi miring$
• $tan theta = fractextsisi depantextsisi samping = fracsin thetacos theta$
• $cot theta = frac1tan theta = fraccos thetasin theta$
• $sec theta = frac1cos theta$
• $csc theta = frac1sin theta$

Sudut Istimewa:
Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut tertentu yang sering digunakan:

Sudut ($theta$)	$sin theta$	$cos theta$	$tan theta$
$0^circ$	0	1	0
$30^circ$	$1/2$	$sqrt3/2$	$1/sqrt3$
$45^circ$	$sqrt2/2$	$sqrt2/2$	1
$60^circ$	$sqrt3/2$	$1/2$	$sqrt3$
$90^circ$	1	0	Tidak terdefinisi

Identitas Trigonometri Dasar:

• $sin^2 theta + cos^2 theta = 1$
• $1 + tan^2 theta = sec^2 theta$
• $1 + cot^2 theta = csc^2 theta$

Contoh Soal 3:
Hitunglah nilai dari:
a) $2 sin 30^circ + 3 cos 60^circ$
b) $fractan 45^circ + sin 90^circcos 0^circ$

Pembahasan:
a) Menggunakan nilai sudut istimewa:
$sin 30^circ = 1/2$
$cos 60^circ = 1/2$
Jadi, $2 sin 30^circ + 3 cos 60^circ = 2(1/2) + 3(1/2) = 1 + 3/2 = 5/2$.

b) Menggunakan nilai sudut istimewa:
$tan 45^circ = 1$
$sin 90^circ = 1$
$cos 0^circ = 1$
Jadi, $fractan 45^circ + sin 90^circcos 0^circ = frac1 + 11 = frac21 = 2$.

Contoh Soal 4:
Jika $sin alpha = 3/5$ dan $alpha$ adalah sudut lancip, tentukan nilai $cos alpha$ dan $tan alpha$.

Pembahasan:
Kita dapat menggunakan identitas $sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1$.
$(3/5)^2 + cos^2 alpha = 1$
$9/25 + cos^2 alpha = 1$
$cos^2 alpha = 1 – 9/25 = 25/25 – 9/25 = 16/25$
$cos alpha = pm sqrt16/25 = pm 4/5$.
Karena $alpha$ adalah sudut lancip (di kuadran I), nilai cosinusnya positif.
Jadi, $cos alpha = 4/5$.

Selanjutnya, kita cari $tan alpha$:
$tan alpha = fracsin alphacos alpha = frac3/54/5 = frac34$.

Alternatif lain: Gambarkan segitiga siku-siku. Jika $sin alpha = textdepan/miring = 3/5$, maka sisi depan adalah 3 dan sisi miring adalah 5. Dengan teorema Pythagoras, sisi samping $= sqrttextmiring^2 – textdepan^2 = sqrt5^2 – 3^2 = sqrt25 – 9 = sqrt16 = 4$.
Maka, $cos alpha = textsamping/miring = 4/5$ dan $tan alpha = textdepan/samping = 3/4$.

>

Topik 3: Dimensi Tiga (Jarak Titik ke Titik, Titik ke Garis, dan Titik ke Bidang)

Materi dimensi tiga mengajarkan tentang konsep geometri dalam ruang, termasuk menghitung jarak antara dua titik, jarak titik ke garis, dan jarak titik ke bidang. Pemahaman ini sangat penting dalam aplikasi teknik dan desain.

1. Jarak Titik ke Titik:
Jarak antara dua titik $A(x_1, y_1, z_1)$ dan $B(x_2, y_2, z_2)$ dalam ruang tiga dimensi adalah:
$Jarak(A, B) = sqrt(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$

2. Jarak Titik ke Garis:
Jarak dari titik P ke garis L adalah panjang ruas garis tegak lurus dari P ke garis L. Jika titik Q terletak pada garis L sedemikian sehingga PQ tegak lurus L, maka jarak titik P ke garis L adalah panjang PQ.

3. Jarak Titik ke Bidang:
Jarak dari titik P ke bidang $mathcalB$ adalah panjang ruas garis tegak lurus dari P ke bidang $mathcalB$. Jika titik Q terletak pada bidang $mathcalB$ sedemikian sehingga PQ tegak lurus $mathcalB$, maka jarak titik P ke bidang $mathcalB$ adalah panjang PQ.

Contoh Soal 5:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $a=6$ cm. Tentukan jarak titik A ke titik G.

Pembahasan:
Kubus ABCD.EFGH memiliki titik-titik:
A(0,0,0)
B(6,0,0)
C(6,6,0)
D(0,6,0)
E(0,0,6)
F(6,0,6)
G(6,6,6)
H(0,6,6)

Kita ingin mencari jarak titik A(0,0,0) ke titik G(6,6,6).
Menggunakan rumus jarak titik ke titik:
$Jarak(A, G) = sqrt(6-0)^2 + (6-0)^2 + (6-0)^2$
$Jarak(A, G) = sqrt6^2 + 6^2 + 6^2 = sqrt3 times 6^2 = 6sqrt3$ cm.

Cara lain: Jarak AG adalah diagonal ruang kubus. Rumus diagonal ruang kubus dengan rusuk $a$ adalah $asqrt3$. Jadi, $6sqrt3$ cm.

Contoh Soal 6:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $a=6$ cm. Tentukan jarak titik A ke garis CG.

Pembahasan:
Perhatikan bahwa garis CG tegak lurus dengan bidang ABCD. Titik A terletak pada bidang ABCD.
Garis CG adalah rusuk vertikal kubus yang tegak lurus dengan alas ABCD.
Jarak titik A ke garis CG adalah jarak dari A ke proyeksinya pada garis CG.
Proyeksi titik A pada garis CG adalah titik C (karena AC tegak lurus CG).
Oleh karena itu, jarak titik A ke garis CG adalah panjang ruas garis AC.
AC adalah diagonal bidang alas ABCD.
Panjang diagonal bidang kubus dengan rusuk $a$ adalah $asqrt2$.
Jadi, $Jarak(A, CG) = AC = 6sqrt2$ cm.

Contoh Soal 7:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $a=6$ cm. Tentukan jarak titik A ke bidang BDG.

Pembahasan:
Bidang BDG adalah salah satu bidang diagonal yang memotong kubus.
Titik A berada di sudut kubus. Bidang BDG melewati diagonal alas BD dan rusuk BG.
Untuk mencari jarak titik A ke bidang BDG, kita perlu mencari panjang garis yang tegak lurus dari A ke bidang BDG.
Perhatikan bahwa segitiga BDG adalah segitiga sama sisi jika kita memproyeksikan B, D, G ke suatu bidang. Namun, di ruang 3D, segitiga BDG adalah segitiga yang dibentuk oleh diagonal alas BD, diagonal sisi BG, dan diagonal sisi DG. Panjang BD = $6sqrt2$, BG = $6sqrt2$, DG = $6sqrt2$. Jadi, segitiga BDG adalah segitiga sama sisi.

Cara paling mudah adalah dengan menggunakan konsep volume prisma segitiga. Pertimbangkan prisma segitiga AB-DGE. Luas alas segitiga AB-D = 1/2 6 6 = 18. Tinggi prisma adalah AE = 6. Volume prisma AB-DGE = 18 * 6 = 108.

Alternatif lain, gunakan hubungan antara jarak titik ke bidang dengan tinggi limas.
Pertimbangkan limas dengan alas segitiga BDG dan puncak A.
Volume limas A.BDG = (1/3) Luas(BDG) Jarak(A, BDG).
Luas segitiga BDG: BD = $6sqrt2$, BG = $6sqrt2$, DG = $6sqrt2$. Segitiga BDG adalah segitiga sama sisi dengan sisi $s=6sqrt2$.
Luas(BDG) = $fracs^2sqrt34 = frac(6sqrt2)^2sqrt34 = frac36 times 2 sqrt34 = frac72sqrt34 = 18sqrt3$.

Sekarang, kita perlu volume limas A.BDG.
Volume limas A.BDG sama dengan volume kubus dikurangi volume empat limas di sudut-sudut yang tidak terpakai.
Volume kubus = $6^3 = 216$.
Limas yang tersisa adalah A.BDC, B.EFG, C.DHG, D.AEH.
Limas A.BDC: alas $triangle BDC$ (luas 1/2 6 6 = 18), tinggi AB = 6. Volume = (1/3)186 = 36.
Karena simetri, volume limas A.BDG adalah 1/3 dari volume kubus.
Volume A.BDG = (1/3) * 216 = 72.

Jadi, $72 = (1/3) times (18sqrt3) times Jarak(A, BDG)$
$72 = 6sqrt3 times Jarak(A, BDG)$
$Jarak(A, BDG) = frac726sqrt3 = frac12sqrt3 = frac12sqrt33 = 4sqrt3$ cm.

>

Penutup

Memahami dan melatih soal-soal seperti contoh di atas adalah kunci untuk meraih hasil yang optimal dalam pelajaran matematika kelas 11 SMK semester 1. Jangan ragu untuk bertanya kepada guru jika ada materi yang belum jelas, diskusikan dengan teman, dan yang terpenting, teruslah berlatih. Dengan ketekunan dan strategi belajar yang tepat, matematika bukan lagi hal yang menakutkan, melainkan sebuah alat yang ampuh untuk memecahkan berbagai permasalahan di dunia nyata.

Semoga artikel ini bermanfaat dan menjadi panduan yang efektif bagi seluruh siswa SMK kelas 11 dalam menaklukkan materi matematika semester pertama!

>