Contoh soal matematika kelas 12 ips semester 1 beserta jawabannya

Menguasai Matematika Kelas 12 IPS Semester 1: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasan

Matematika seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, terutama bagi siswa jurusan Ilmu Pengetahuan Sosial (IPS). Namun, pemahaman yang kuat terhadap konsep matematika fundamental sangat penting, bahkan dalam bidang sosial. Semester pertama kelas 12 IPS biasanya mencakup topik-topik yang tidak hanya relevan untuk ujian akhir, tetapi juga sebagai bekal untuk jenjang pendidikan tinggi dan analisis data dalam berbagai disiplin ilmu sosial.

Artikel ini akan memandu Anda melalui beberapa contoh soal matematika kelas 12 IPS semester 1 yang umum dijumpai, lengkap dengan penjelasan mendalam dan kunci jawaban. Tujuannya adalah untuk membantu Anda memahami konsep-konsep kunci, strategi penyelesaian, dan cara menghindari kesalahan umum.

Topik Utama yang Sering Muncul di Matematika Kelas 12 IPS Semester 1:

Meskipun kurikulum dapat sedikit bervariasi antar sekolah, beberapa topik yang paling sering diajarkan di semester 1 kelas 12 IPS meliputi:

1. Program Linear: Ini adalah topik fundamental yang melibatkan penyelesaian masalah optimasi menggunakan pertidaksamaan linear. Konsep ini sangat relevan dalam ekonomi, bisnis, dan manajemen sumber daya.
2. Matriks: Matriks adalah susunan bilangan yang terorganisir dalam baris dan kolom. Konsep ini digunakan dalam berbagai bidang, termasuk ekonomi (analisis input-output), statistik, dan grafika komputer.
3. Barisan dan Deret: Memahami pola angka yang teratur sangat penting. Barisan dan deret aritmetika dan geometri memiliki aplikasi dalam perhitungan bunga, pertumbuhan populasi, dan analisis tren.
4. Statistika Dasar: Analisis data, termasuk ukuran pemusatan (mean, median, modus), ukuran penyebaran (jangkauan, simpangan baku), dan penyajian data (histogram, diagram batang). Ini adalah tulang punggung dari banyak penelitian sosial dan ekonomi.

Mari kita selami contoh soal dari masing-masing topik tersebut.

>

1. Program Linear

Program linear adalah teknik matematika yang digunakan untuk mencari nilai optimal (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi objektif, yang dibatasi oleh sejumlah kendala yang dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear.

Contoh Soal 1:

Seorang pedagang roti membuat dua jenis roti, yaitu roti manis dan roti coklat. Untuk membuat satu buah roti manis, diperlukan 50 gram tepung dan 20 gram gula. Untuk membuat satu buah roti coklat, diperlukan 40 gram tepung dan 30 gram gula. Persediaan tepung yang dimiliki adalah 10 kg (10.000 gram) dan persediaan gula adalah 6 kg (6.000 gram). Jika keuntungan dari satu buah roti manis adalah Rp1.000,00 dan keuntungan dari satu buah roti coklat adalah Rp1.500,00, tentukan keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang tersebut!

Pembahasan:

Pertama, kita definisikan variabel:

• Misalkan $x$ adalah jumlah roti manis yang diproduksi.
• Misalkan $y$ adalah jumlah roti coklat yang diproduksi.

Selanjutnya, kita formulasikan fungsi objektif (keuntungan yang ingin dimaksimalkan):
$Z = 1000x + 1500y$

Kemudian, kita formulasikan kendala berdasarkan ketersediaan bahan baku:

• Kendala tepung: $50x + 40y le 10000$ (gram)
  Dapat disederhanakan menjadi: $5x + 4y le 1000$
• Kendala gula: $20x + 30y le 6000$ (gram)
  Dapat disederhanakan menjadi: $2x + 3y le 600$

Kendala non-negatif (jumlah roti tidak mungkin negatif):

• $x ge 0$
• $y ge 0$

Untuk menyelesaikan masalah program linear ini, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibentuk oleh pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut, kemudian mensubstitusikan titik-titik tersebut ke dalam fungsi objektif.

Langkah-langkah mencari titik pojok:

1. Titik Potong Sumbu X dan Y dari Kendala:

   • Untuk $5x + 4y = 1000$:
     • Jika $x=0$, maka $4y = 1000 implies y = 250$. Titik: (0, 250)
     • Jika $y=0$, maka $5x = 1000 implies x = 200$. Titik: (200, 0)
   • Untuk $2x + 3y = 600$:
     • Jika $x=0$, maka $3y = 600 implies y = 200$. Titik: (0, 200)
     • Jika $y=0$, maka $2x = 600 implies x = 300$. Titik: (300, 0)

2. Titik Potong Antar Kendala:
   Kita cari titik potong antara $5x + 4y = 1000$ dan $2x + 3y = 600$.
   Kalikan persamaan pertama dengan 2 dan persamaan kedua dengan 5 agar koefisien $x$ sama:
   $10x + 8y = 2000$
   $10x + 15y = 3000$
   Kurangkan persamaan pertama dengan persamaan kedua:
   $(10x + 8y) – (10x + 15y) = 2000 – 3000$
   $-7y = -1000$
   $y = frac10007$

   Substitusikan nilai $y$ ke salah satu persamaan, misalnya $2x + 3y = 600$:
   $2x + 3left(frac10007right) = 600$
   $2x + frac30007 = 600$
   $2x = 600 – frac30007 = frac4200 – 30007 = frac12007$
   $x = frac6007$
   Titik potong: $left(frac6007, frac10007right)$

3. Identifikasi Titik Pojok yang Sah:
   Titik pojok yang membentuk daerah penyelesaian adalah:

   • (0, 0) – Titik asal
   • (200, 0) – Titik potong sumbu X dari kendala 1 (karena 200 < 300)
   • (0, 200) – Titik potong sumbu Y dari kendala 2 (karena 200 < 250)
   • $left(frac6007, frac10007right)$ – Titik potong kedua kendala.
     $frac6007 approx 85.71$ dan $frac10007 approx 142.86$. Nilai ini positif dan memenuhi kendala lainnya.

4. Evaluasi Fungsi Objektif di Setiap Titik Pojok:

   • Di (0, 0): $Z = 1000(0) + 1500(0) = 0$
   • Di (200, 0): $Z = 1000(200) + 1500(0) = 200.000$
   • Di (0, 200): $Z = 1000(0) + 1500(200) = 300.000$
   • Di $left(frac6007, frac10007right)$:
     $Z = 1000left(frac6007right) + 1500left(frac10007right)$
     $Z = frac6000007 + frac15000007 = frac21000007 = 300.000$

Jawaban:
Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp300.000,00. Hal ini dapat dicapai dengan memproduksi 0 roti manis dan 200 roti coklat, atau dengan memproduksi $frac6007$ roti manis dan $frac10007$ roti coklat. Namun, karena jumlah roti harus bulat, kita perlu mempertimbangkan titik-titik integer di sekitar $left(frac6007, frac10007right)$ yang berada dalam daerah penyelesaian. Namun, dalam konteks soal seperti ini, seringkali dibulatkan atau dianggap bahwa nilai fraksional bisa diinterpretasikan sebagai proporsi produksi. Jika harus bulat, kita perlu uji titik integer di sekitar $left(frac6007, frac10007right)$, misalnya (85, 142) atau (86, 142). Namun, nilai Rp300.000,00 yang didapat dari (0, 200) dan $left(frac6007, frac10007right)$ adalah nilai optimum teoritis.

Catatan: Jika dalam soal ujian jawabannya harus bilangan bulat, maka titik $left(frac6007, frac10007right)$ perlu diuji titik integer terdekat di dalam daerah penyelesaian. Namun, jawaban Rp300.000,00 sudah merupakan nilai maksimum yang mungkin dicapai.

>

2. Matriks

Matriks adalah kumpulan angka yang disusun dalam bentuk persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom. Operasi matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian matriks.

Contoh Soal 2:

Diberikan matriks A, B, dan C sebagai berikut:
$A = beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix$, $B = beginpmatrix 1 & 0 -2 & 5 endpmatrix$, $C = beginpmatrix -3 & 2 1 & -1 endpmatrix$

Hitunglah hasil dari $2A – B + 3C$!

Pembahasan:

Pertama, kita hitung perkalian skalar untuk matriks A dan C:

• $2A = 2 beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix = beginpmatrix 2 times 2 & 2 times (-1) 2 times 3 & 2 times 4 endpmatrix = beginpmatrix 4 & -2 6 & 8 endpmatrix$
• $3C = 3 beginpmatrix -3 & 2 1 & -1 endpmatrix = beginpmatrix 3 times (-3) & 3 times 2 3 times 1 & 3 times (-1) endpmatrix = beginpmatrix -9 & 6 3 & -3 endpmatrix$

Selanjutnya, kita lakukan operasi penjumlahan dan pengurangan matriks:
$2A – B + 3C = beginpmatrix 4 & -2 6 & 8 endpmatrix – beginpmatrix 1 & 0 -2 & 5 endpmatrix + beginpmatrix -9 & 6 3 & -3 endpmatrix$

Untuk melakukan penjumlahan dan pengurangan, kita operasikan elemen-elemen yang berada pada posisi yang sama:
Elemen pada baris 1, kolom 1: $4 – 1 + (-9) = 4 – 1 – 9 = -6$
Elemen pada baris 1, kolom 2: $-2 – 0 + 6 = -2 + 6 = 4$
Elemen pada baris 2, kolom 1: $6 – (-2) + 3 = 6 + 2 + 3 = 11$
Elemen pada baris 2, kolom 2: $8 – 5 + (-3) = 8 – 5 – 3 = 0$

Maka, hasil dari $2A – B + 3C$ adalah:
$beginpmatrix -6 & 4 11 & 0 endpmatrix$

Jawaban:
$2A – B + 3C = beginpmatrix -6 & 4 11 & 0 endpmatrix$

>

3. Barisan dan Deret

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan di mana selisih antara dua suku berturutan selalu konstan (disebut beda, $d$). Barisan geometri adalah barisan bilangan di mana perbandingan antara dua suku berturutan selalu konstan (disebut rasio, $r$). Deret adalah jumlah dari suku-suku suatu barisan.

Contoh Soal 3:

Sebuah toko elektronik memberikan diskon kepada pelanggannya. Pada bulan pertama, diskon yang diberikan adalah sebesar Rp50.000,00. Pada bulan kedua, diskon ditingkatkan menjadi Rp65.000,00. Pada bulan ketiga, diskon menjadi Rp80.000,00, dan seterusnya.
a. Berapakah besar diskon pada bulan ke-10?
b. Berapakah total seluruh diskon yang diberikan dari bulan pertama hingga bulan ke-10?

Pembahasan:

Kita identifikasi jenis barisan dan parameternya:
Besar diskon pada setiap bulan membentuk barisan aritmetika karena selisih antara diskon bulan berturut-turut adalah konstan.

• Suku pertama ($a_1$) = Rp50.000,00
• Beda ($d$) = Rp65.000,00 – Rp50.000,00 = Rp15.000,00

a. Besar diskon pada bulan ke-10:
Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $a_n = a1 + (n-1)d$.
Untuk bulan ke-10 ($n=10$):
$a10 = 50.000 + (10-1) times 15.000$
$a10 = 50.000 + 9 times 15.000$
$a10 = 50.000 + 135.000$
$a_10 = 185.000$

b. Total seluruh diskon dari bulan pertama hingga bulan ke-10:
Ini adalah jumlah deret aritmetika. Rumus jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika adalah $S_n = fracn2(a_1 + a_n)$ atau $S_n = fracn2(2a1 + (n-1)d)$. Kita akan menggunakan rumus pertama karena kita sudah menemukan $a10$.
Untuk 10 bulan pertama ($n=10$):
$S_10 = frac102(a1 + a10)$
$S10 = 5(50.000 + 185.000)$
$S10 = 5(235.000)$
$S_10 = 1.175.000$

Jawaban:
a. Besar diskon pada bulan ke-10 adalah Rp185.000,00.
b. Total seluruh diskon yang diberikan dari bulan pertama hingga bulan ke-10 adalah Rp1.175.000,00.

>

4. Statistika Dasar

Statistika dasar berkaitan dengan pengumpulan, penyajian, dan analisis data untuk mendapatkan kesimpulan yang bermakna. Ukuran pemusatan (mean, median, modus) adalah bagian penting dari analisis ini.

Contoh Soal 4:

Data hasil ujian matematika kelas XII IPS sebagai berikut:
Nilai: 5, 6, 7, 8, 9, 10
Frekuensi: 3, 5, 8, 10, 7, 2

Hitunglah:
a. Mean (rata-rata) nilai ujian.
b. Median nilai ujian.
c. Modus nilai ujian.

Pembahasan:

a. Mean (Rata-rata):
Rumus mean untuk data berkelompok adalah $barx = fracsum(f cdot x)sum f$, di mana $f$ adalah frekuensi dan $x$ adalah nilai.

Nilai ($x$)	Frekuensi ($f$)	$f cdot x$
5	3	15
6	5	30
7	8	56
8	10	80
9	7	63
10	2	20
Total	35	264

$sum f = 3 + 5 + 8 + 10 + 7 + 2 = 35$
$sum (f cdot x) = 15 + 30 + 56 + 80 + 63 + 20 = 264$

Mean ($barx$) = $frac26435 approx 7.54$

b. Median:
Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Pertama, kita cari posisi median:
Posisi Median = $fracn+12$ jika $n$ ganjil, atau nilai rata-rata dari data ke-n/2 dan ke-(n/2)+1 jika $n$ genap.
Dalam kasus ini, $n = 35$ (ganjil).
Posisi Median = $frac35+12 = frac362 = 18$.
Artinya, median adalah nilai pada data ke-18 setelah data diurutkan.

Mari kita lihat frekuensi kumulatif:
Nilai 5: frekuensi kumulatif 3 (data ke-1 sampai 3)
Nilai 6: frekuensi kumulatif 3 + 5 = 8 (data ke-4 sampai 8)
Nilai 7: frekuensi kumulatif 8 + 8 = 16 (data ke-9 sampai 16)
Nilai 8: frekuensi kumulatif 16 + 10 = 26 (data ke-17 sampai 26)

Data ke-18 jatuh pada kelompok nilai 8.

c. Modus:
Modus adalah nilai yang memiliki frekuensi paling tinggi. Dari tabel frekuensi, nilai yang paling sering muncul (memiliki frekuensi tertinggi) adalah 8, dengan frekuensi 10.

Jawaban:
a. Mean nilai ujian adalah sekitar 7.54.
b. Median nilai ujian adalah 8.
c. Modus nilai ujian adalah 8.

>

Penutup:

Memahami konsep-konsep matematika seperti program linear, matriks, barisan dan deret, serta statistika dasar sangatlah krusial bagi siswa kelas 12 IPS. Soal-soal di atas hanyalah sebagian kecil dari variasi yang mungkin Anda temui. Kunci untuk menguasai materi ini adalah dengan berlatih secara konsisten, memahami setiap langkah dalam penyelesaian, dan mengaitkan konsep matematika dengan aplikasi nyata di bidang sosial dan ekonomi.

Dengan pendekatan yang tepat dan latihan yang cukup, matematika bukan lagi menjadi momok, melainkan menjadi alat yang ampuh untuk menganalisis berbagai fenomena di sekitar kita. Selamat belajar dan semoga sukses!